God and Mathematics. The golden ratio

1. Who said that mathematics is the language with which God has written universe? 
2. Name three examples in nature that follow the golden ratio. 
3. Who was the first mathematician who described the golden proportion? 
4. If you are well proportioned, what is the ratio of your body? 
5. How is it generated the sequence of numbers of the golden proportion? 
6. Write the first 8 numbers of the sequence. 
7. What fraction does the beach tree leave placed of the way around the stem from the previous leaves? 
8. And the larch trees? 
9. At what average is the spiral of galaxies formed with this design? 
10. Galileo is considered the founder of two sciences. Which ones?

Fermat's Last Theorem

Watch this documentary from the BBC about Fermat's last theorem and answer the questions:

BBC - Horizon - 1996 - Fermat's Last Theorem por DocumentaryHD2014

First part:

1. How long was Andrew Wiles working in complete secrecy in the solution of the Fermat's theorem? 
2. In what century did Fermat lived?
3. Write the formula of Pythagora's theorem.
4. Fermat said that you will never find numbers which fit the equation. What equation?
5. Fermat did not write the solution of his theorem. Why?
6. After Wiles became a mathematician, in what university did he work for the first time?
7. According to Wiles, the elliptic curves he was studying were similar to what?
8. Who suggested that every elliptic curve was really a modular form in disguise?
9. How did he die?
10. In what year Frey had the idea of considering that there are solutions for Fermat's equation?

Second part:

1. Andrew Wiles was embarked in one of the most wonderful problems of maths in history. How long did it take to him just to find the strategy of solving it? 
2. Wiles was at a conference where he found out that an student had discovered the class number formula he needed to solve the problem. When did it happened?
3. What was the name of the student?
4. After six years of secrecy, he spoke to one person about his investigations. Who?
5. What was the name of the second person he spoke to about his investigations?
6. When he was going to speak in public for the first time about his investigations, people used to asked him: What are you going to say? What did he answer to this?
7. How long was Nick studying Wiles' solution to see if it was right?
8. There was a problem in the solution. In what method?
9. When Wiles fixed his proof, he told that to his wife. What did she thought he was talking about?

Van Gogh y las matemáticas

Fuente: http://www.culturainquieta.com/es/inspiring/item/5662-en-125-anos-cientos-de-millones-de-personas-hemos-observado-esta-pintura-y-nadie-lo-habia-observado-hasta-ahora.html

Mientras Van Gogh estaba en un asilo en Francia (después de mutilar su oreja durante un episodio psicótico) fue capaz de captar uno de los conceptos más esquivos de la ciencia: la turbulencia.

Aunque es difícil de entender con ayuda de las matemáticas (más bien, muy difícil), resulta que para el arte es fácil representar su apariencia. Entonces, ¿qué es la turbulencia?

La turbulencia, o flujo turbulento, es un concepto de la dinámica de fluidos, en movimientos fluidos "autosimilares", cuando hay una cascada de energía en la que, básicamente, grandes remolinos generan remolinos más pequeños, y estos crean otros aún más pequeños ... y así sucesivamente. Se parece a esto:

La cuestión es que los científicos están, prácticamente, tan solo empezando a llevar a cabo esta tarea.

Sin embargo, encontramos a Van Gogh, 100 años antes, en su asilo, con una oreja cortada, que da totalmente en el blanco. Las personas que se percataron de la capacidad de Van Gogh para captar la turbulencia revisaron si otros impresionistas hicieron lo mismo.

La mayoría de los impresionistas lograron "luminancia" en su arte (que es el tipo de pulsación que percibimos cuando miramos sus pinturas, que muestran realmente la apariencia de la luz). ¿Pero hubo otros artistas que representaran la turbulencia de la misma forma en que Van Gogh lo hizo? No. Incluso en su momento más oscuro, Van Gogh fue capaz de capturar - con inquietante precisión - uno de los conceptos más complejos y confusos de la naturaleza... 100 años antes de que los científicos comenzaran a arañar su superficie.

Mira este vídeo para entenderlo mejor:

The Joy of Maths

'The true spirit of delight

is to be found in mathematics

as surely as in poetry'

Bertrand Russell

If you do not like maths, the reason is that you have not put enough interest to discover them or because your teacher has failed to open up your eyes to them. It is true that mathematics have not the social presence that corresponds to their contribution to civilization, but the queen of sciences has an infinite beauty. I will try to fight against some topics:

Mathematics are useless

It usually happens that the best professionals in most sciences are mathematicians. It is said that the First World War was the war of the chemists (million of casualties by mustard gas), WWII was the war of the physics (atomic bombs) and the third one will be the war of the mathematicians.

For example, thanks to its knowledge we can prevent that politicians and media can cheat us with statistics:

In the debates of the last presidential elections, the opponent-leader showed the graph unemployment versus time taking very few units on the `y´ axis, so that we could see an exaggerated increase in unemployment. On the other hand, the ruling political leader used the same data with a large number of units on the `y' axis, so that the increase in unemployment did not seem significant.

If a newspaper says that homicides have increased by 60%, it will be more shocking than if it says that last year 5 people were killed and this year 8 were killed. We saw another example of deception in the inconsistency between the Consumer Price Index presented by the government and the popular sensitivity to the impact on prices with the introduction of the euro. The media often offer a percentage without reference; unemployment can be said to have dropped from 8.1% to 7.9%, but they do not say that the confidence interval is 1% (so that unemployment could even have increased).

Anyway... mathematics will always be useful to think and...

Once upon a time there was a young man who decided to learn how to hunt dragons. He spent five years studying everything related to dragons (to capture them). He analysed all their habits: where they used to eat, how they reproduced, in what places they preferred to sleep... When he finished his long study and was considered an expert on the dragon hunt, he realized that there were no dragons. Then he dedicated himself to teach how to hunt dragons.

"Mathematics cannot take us out of the labyrinth, but they can tell us at what point of it we are." Galileo.

Mathematics are boring

Only a few things are able to call the attention of human beings as much as mathematical puzzles do:

• A snail is next to a 30-metre-high wall. During the day, it goes up three metres and at night it sleeps, so it slides two metres down. How many days will it need to climb the wall up?

• We have two wicks. They are unbreakable. We know that each one takes an hour to get completely burnt. How would you calculate 45 minutes of time?

• In a race of 100 metres, a runner beats his opponent by 10 metres. Then they decide to run again, but this time the fastest one starts 10 meters behind. If everyone runs at the same speed as before, who wins now?

• We are on an island where there are two kinds of Indians. Some Indians always lie and some always tell the truth. We are going to the village and there is a crossroad with two roads. We find one Indian (we don't know if he is a liar or a sincere). What question do you have to ask to know which of the two roads would lead you to the village?

• You must touch all the points with four straight lines. It is not allowed to lift the pencil from the paper.

• There is a trielo: Mr. Black hits 1 out of 3 shots , Mr. Gray 2 out of 3 and Mr. White does not fail. They shoot in reverse order of their aim. What would you do if you were Mr. Black?

• What number comes next in the series ? 

And paradoxes...

• In one village, there is only one barber. He cuts the hair only to those who are not able to cut it by themselves. Who cuts the barber's hair?

• If all roads lead to Rome, how do I get out of Rome?

• I
 always lie.

• This sentence is false.

• My laziness leaves me no time to do anything.

And the mysteries of nature related to mathematics :

Kepler said 'God is a great mathematician'. Both Π and Φ are peculiar numbers. They appear unexpectedly in the context of science. It could be thought that our universe was designed from a few key numbers. Φ seems to be one of the structural keys. It defines the arrangement of the petals of the rose, the dimensions of the works of Le Corbusier, it is among scores of Debussi and in the Mona Lisa, it defines the dynamics of black holes and the microscopic structure of some crystals. Such timeless and universal coincidences cannot be the result of randomness. In several periods of history, it has been considered sacred. Man has discovered Φ in nature and has used it for aesthetic creation. The logarithmic spiral, which is built from Φ, is common in hurricanes, molluscs, horns and even galaxies. It was widely known in Classical Greece and it was used in the architectural and sculptural designs. It has also inspired artists like Wagner, Dali and Picasso.

The spiral structure is found everywhere in humans. The spiral staircase in the ear, the heart is a spiral formation that facilitates muscle contraction. In the umbilical cord, arteries have a spiral twist to the left and also in the gallbladder. The spiral shape of the seventh rib helps us to breath because it raises the chest. The right humerus have a spiral twist to the right, and the left, to the left. Teeth, nails... The penis of the pigs has a helical structure to ensure penetration and to fix sperm, the digestive spirals valves of the shark allow it to slow the absorption of food (they have inspired engineers). The periodic table is organized in a spiral from the most simple element (hydrogen).

The rare and significant numbers are those whose divisors add up to exactly their value, and those are called perfect. The 6 has divisors 1, 2 and 3, so it is a perfect number because 1 +2 +3 = 6. The perfect number that follows is 28. The perfection of 6 and 28 has been recognized by many cultures. The moon's cycle is 28 days, God created the world in 6...

The lives of the mathematicians are serious

Alfred Nobel felt guilty for having invented dynamite (it has been used in so many wars), so he decided to create the prizes that bear his name. There are a lot of disciplines in these prizes, but there is not a nobel prize for maths. There is a legend that explains why. At that time, one of the most important candidates to receive this prize was the Sweddish Gösta Mittag-Leffler. But, it seems that he had an affair with Nobel's wife. So he decided not to create a prize for this discipline.

Ramanujan was a poor Indian boy who, by chance, found a book of maths. He learned by himself. Later, he was able to develop theorems and proofs that had escaped to the Western mathematicians. He wrote to Hardy (an important English mathematician) who was deeply impressed with his knowledge. Hardy took Ramanujan to England to work with him. Unfortunately, English winters were too much for him. He contracted tuberculosis. Hardy went to visit him to the hospital. He travelled by taxi. «I think my cab number was 1729. It seems a rather dull number» . And Ramanujan replied: «No, Hardy! No, Hardy! It is a very interesting number because it is the smallest number that can be expressed as a sum of two cubes in two different ways». Ramanujan died at 33.

Galois was a mathematical genius of dissolute life: jail, alcohol, prostitutes... At the age of twenty, he was involved in a problem with women. He was challenged to a duel by the military fencing champion. The night before of the duel, aware of his few chances, he tried desperately to record all his mathematic findings, but he did not have enough time. On the right side of his notes, he wrote: «Je n'ai pas le temps». The next day he was defeated and he died.

Fermat, the best amateur mathematician in all history, had a hard job. He was a member of the Inquisition and condemned people to die at the stake. He had a hobby: mathematics. He wrote down in a notebook that he had found a wonderful test to prove a theorem, but he could not write that test in that space because it was too small. This statement would haunt generations of mathematicians. Hardy, another great mathematician, used to say every time he was going to travel in a ship that he had the solution of another famous theorem. He was afraid of dying in the sea, but he believed that God would never let him drown because, in that case, the mathematicians would be harassed by a second and terrible ghost.

Euler wrote mathematical papers without wasting a second of his life. He used to do it and at the same time he could cradle his child, he ate soup with one hand and he wrote with the other... When he lost an eye, he exclaimed: «This is good for me: now I will be less distracted». In the court of Catherine the Great they mocked him because he believed in God and was very rustic. One day, he stood before Diderot with a formula that proved the existence of God: «Sir, (a + bn ) / n = x and therefore God exists. Refute it!»

Alan Turing played a very important role in the defeat of Germany in World War II. He discovered the secret code by which they communicated. A few years later, the British government convicted him for being homosexual. He was condemned and he had to inject hormones to himself. Later, he decided to commit suicide. Quietly, he ate an apple where he had injected cyanide.

Misako Suzuki wrote a suicide note where he described methodically things like the books he had to return to the library and to his friends, he explained which lesson he had come to in his course in calculus and algebra for the substitute teacher to continue from there, and ended up apologizing to his colleagues for any inconvenience that his act would cause to them.

Norbert Wiener was the typical absent-minded mathematician. His wife repeated him many times that they would move that day. That morning, before going to work at university, he wrote on a piece of paper the new address. But he used the paper to solve an issue to a student. In the afternoon, Norbert returned to his old home. He had forgotten the move. Then he remembered, but he did not know the new address. He went out and saw a girl worried approaching: «Excuse me, but I lived here before and I cannot remember...». «Do not worry, dad, mom sent me to pick you up».

Taniyama was the perfect example of the absent-minded genius and it was reflected in his appearance. He was unable to make a knot. Therefore, he decided that instead of tying the laces of his shoes a dozen times a day, he would never tie them. He always wore the same green suit with a strange peculiar metallic glow. The rest of his family had rejected it because it was made of a very striking fabric.

An astronomer, a physicist and a mathematician were having holidays in Scotland. Looking out of the train window, they distinguished a black sheep in the middle of a meadow. «How interesting, the sheep in Scotland are black!» The astronomer said. The physicist answered: «No, no, some Scottish sheep are black». The mathematician looked pleadingly at the sky and then mouthed: «In Scotland, there is at least one field that has at least one sheep with at least one of its sides black».

La alegría de las matemáticas

Si no te gustan las matemáticas es o porque no has puesto el suficiente interés en descubrirlas o porque tu profesor no ha sabido abrirte bien los ojos a ellas. Aunque no tenga la presencia social que corresponde a su contribución a la civilización, la reina de las ciencias posee una belleza infinita. Trataré de luchar contra algunos tópicos:

Las matemáticas no sirven para nada

En la mayoría de las ciencias sucede que los mejores suelen ser matemáticos. Incluso se dice que la Primera Guerra Mundial fue la guerra de los químicos (millones de bajas por el gas mostaza), la Segunda, la de los físicos (bombas atómicas) y que la tercera será la de los matemáticos. Por ejemplo, gracias a su conocimiento podemos impedir que nos engañen políticos, medios de comunicación... con las estadísticas: en los debates de las últimas elecciones, el político gobernante mostraba una gráfica tasa de paro frente a tiempo con un amplio número de unidades en el eje y, de modo que el aumento del paro no parecía significativo. En cambio, el político de la oposición, con los mismos datos, tomaba muy pocas unidades en el eje y, de modo que daba la impresión de un aumento exagerado del paro.

Si un periódico dice que han aumentado los homicidios en un 60%, impactará más que si dice que el año pasado asesinaron a 5 personas y este año a 8. Otro ejemplo de engaño lo vimos en la incoherencia entre el IPC presentado por el gobierno y la sensibilidad popular respecto al impacto en los precios con la entrada del euro. Los medios suelen ofrecer un porcentaje sin más referencia; dicen que el paro ha bajado del 8,1% al 7,9%, pero no dicen que el intervalo de confianza es del 1% (por lo que el paro podría incluso haber aumentado).

En cualquier caso las matemáticas siempre servirán, como mínimo, para pensar y para...

Una vez un joven decidió aprender a matar dragones. Se dedicó durante cinco años a estudiar todo lo relacionado con los dragones para poder capturarlos. Analizó todos sus hábitos: dónde solían comer, cómo se reproducían, en qué sitios preferían dormir... Cuando hubo dado por finalizado su largo estudio y ya se consideraba un experto en la caza de dragones, se dio cuenta de que no había dragones. Entonces se dedicó a enseñar cómo matar dragones.

"Las matemáticas no pueden sacarnos del laberinto, pero sí decirnos en qué punto de él estamos". Galileo.

Las matemáticas son aburridas

Pocas cosas consiguen llamar tanto la atención de los seres humanos como los enigmas matemáticos:

• Un caracol está junto a una pared de 30 metros. Por el día sube tres metros y por la noche se duerme deslizándose dos metros hacia abajo. ¿Cuántos días necesitará para subir la pared?

• Tenemos dos mechas irrompibles y de grosor irregular. Sabemos que cada una tarda en arder una hora. ¿Cómo calcularíamos 45 minutos de tiempo?

• En una carrera de 100 metros un corredor gana a otro por 10 metros. Vuelven a correr, pero esta vez el rápido sale 10 metros por detrás. Si cada uno va a la misma velocidad que antes, ¿quién gana ahora?

• Estamos en una isla donde hay dos tipos de indígenas. Unos siempre mienten y otros siempre dicen la verdad. Camino del poblado llegamos a una bifurcación donde hay un indígena que no sabemos de qué tipo es. ¿Qué pregunta le haremos para saber cuál de los dos caminos es el que lleva al poblado?

• Sin levantar el lápiz, consigue, con cuatro rectas, pasar por todos los puntos:

• Se celebra un trielo, el señor negro acierta 1 de cada 3 disparos, el señor gris 2 de cada 3 y el señor blanco no falla. Disparan en orden inverso a su puntería. ¿Qué harías si fueras el negro?

• ¿Qué número sigue en la siguiente serie? 

También las paradojas:

• En un pueblo, el único peluquero le corta el pelo a todos los que no se lo cortan por sí mismos. ¿Quién le corta el pelo al peluquero? 
  

• Si todos los caminos llevan a Roma, ¿qué hago para salir de Roma? 

• Siempre miento.

• Esta frase es falsa.

• Mi holgazanería no me deja tiempo para hacer nada.

Y los misterios de la naturaleza tan relacionados con las matemáticas:

Dios es 1 gran matemático decía Kepler. Tanto Π como Φson números muy peculiares, ambos aparecen inesperadamente en el contexto de las ciencias. Como si nuestro universo hubiera sido diseñado con base en unos cuantos números fundamentales. Φ parece ser 1 de las claves estructurales. Define tanto la disposición de los pétalos de la rosa como las dimensiones de las obras de Le Corbusier, está entre las partituras de Debussi y tras la Mona Lisa, define la dinámica de los agujeros negros y la estructura microscópica de algunos cristales. Tanta coincidencia atemporal, universal e intercultural no puede ser fruto de la aleatoriedad. En varios periodos de la historia ha sido considerado sagrado. El hombre ha descubierto Φ en la Naturaleza y lo ha utilizado para la creación estética. La espiral logarítmica, surgida de Φ, es habitual en huracanes, moluscos, cuernos e incluso galaxias. En la Grecia Clásica ya era muy conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos y escultóricos. También ha inspirado a artistas como Wagner, Dalí o Picasso.

La estructura espiral se encuentra en todas partes en el ser humano. La espiral de caracol en el oído, el corazón es una formación muscular en espiral que facilita su contracción. En el cordón umbilical las arterias tienen un giro de espiral hacia la izquierda y en la vesícula biliar también. La forma en espiral de la séptima costilla nos facilita le respiración al elevar el tórax. El húmero derecho tiene una torsión en espiral hacia la derecha, y el izquierdo hacia la izquierda. Dientes, uñas... El pene del cerdo tiene una estructura de hélice dextrógira y levógira a la vez para asegurar la penetración y fijar el esperma, las válvulas del aparato digestivo del tiburón son espirales, en ellas se han inspirado ingenieros, para hacer más lenta la absorción del alimento. La tabla periódica, desde el elemento más sencillo, el hidrógeno, se va organizando en forma de espiral.

Los números más raros y significativos son aquellos cuyos divisores suman exactamente su valor, y ésos son los llamados perfectos. El 6 tiene por divisores 1, 2 y 3, así que se trata de un número perfecto porque 1+2+3 = 6. El perfecto que le sigue es el 28. La perfección del 6 y el 28 ha sido reconocida por muchas culturas. El ciclo de la luna es de 28 días, dios creó al mundo en 6...

Las vidas de los matemáticos son serias

Alfred Nobel se sentía culpable por haber inventado la dinamita, usada en tantas guerras, así que creó los premios que llevan su nombre. Estos existen en muchas disciplinas, pero no en matemáticas. Hay una leyenda que explica el motivo. En aquel tiempo ese premio nobel de matemáticas iría con mucha probabilidad para el sueco Gösta Mittag-Leffler, quien, parece ser, mantenía relaciones con la amada de Nobel.

Ramanujan era un niño indio pobre al que, por casualidad, le cayó en las manos un libro de demostraciones matemáticas. Aprendió de forma autodidacta hasta ser capaz de elaborar teoremas y demostraciones que habían escapado a los matemáticos occidentales. Escribió una carta a Hardy, quién alucinó con sus conocimientos. Se lo llevó a Inglaterra para que trabajara con él. Por desgracia los crudos inviernos ingleses fueron demasiado para él. Contrajo la tuberculosis. Hardy fue a visitarlo al hospital. Se desplazó en taxi. Creo que el número de mi taxi era el 1729. Me parece un número bastante aburrido. A lo que Ramanujan respondió: - ¡No, Hardy!, ¡no, Hardy! Es un número muy interesante, ya que es el menor que se puede expresar como suma de dos cubos de dos maneras distintas. Ramanujan falleció a los 33.

Galois era un genio de las matemáticas de vida disoluta: cárcel, alcohol, prostitutas... Con veinte años, por un lío de faldas, fue retado a un duelo por el campeón de esgrima del ejército. La noche antes, consciente de sus pocas posibilidades, trató desesperadamente de registrar todos sus hallazgos matemáticos, pero no le daba tiempo. En el margen derecho de sus notas escribió: je n'ai pas le temps. Fue derrotado y murió al día siguiente.

Fermat, el mejor aficionado matemático de la historia, cuando no condenaba a morir a personas en la hoguera, como miembro de la inquisición, se dedicaba a su afición. Escribió en un cuaderno que poseía una prueba maravillosa para demostrar un teorema pero que no le cabía en ese margen. Esta afirmación atormentaría a generaciones de matemáticos. Hardy, otro gran matemático, cada vez que se montaba en un barco, decía que tenía la solución de otro famoso teorema. Consideraba que dios nunca permitiría que se ahogara porque, en ese caso, dejaría a los matemáticos acosados por un segundo y terrible fantasma.

Euler escribía artículos matemáticos sin desperdiciar un segundo. Lo hacía con la otra mano mientras mecía a un niño, comía sopa con una mano y con la otra escribía... Cuando perdió un ojo, exclamó: Mejor, ahora me distraeré menos. Se burlaban de él en la corte de Catalina la grande por su origen rural y por creer en Dios. Un día se plantó ante Diderot con una fórmula que demostraba la existencia de Dios: Señor, (a + b n)/n = x y por tanto dios existe. ¡Refútelo!

Turing fue uno de los principales responsables de la derrota nazi en la segunda guerra mundial. Descubrió el código secreto mediante el que se comunicaban. Unos años después el gobierno inglés lo condenó por homosexual a inyectarse hormonas. Poco después se suicidó comiéndose apaciblemente una manzana en la que había inyectado cianuro.

En la nota de suicidio de Misako Suzuki describía metódicamente los libros que tenía que devolver a la biblioteca y a sus amigos, explicaba hasta donde había llegado en su curso de cálculo y álgebra para que el profesor sustituto continuase desde ahí, y terminaba disculpándose ante sus colegas por los inconvenientes que su acto les pudiera causar.

Norbert Wiener era el típico matemático despistado. Su mujer le repitió muchas veces que se mudaban tal día. Esa mañana, antes de irse a trabajar a la universidad, le escribió en una hoja de papel la nueva dirección. Pero usó el papel para resolverle un problema a un alumno. Por la tarde, Norbert regresó a su antigua casa, ya que se había olvidado de la mudanza. Entonces lo recordó, pero no sabía la nueva dirección. Salió a la calle preocupado y vio una chica que se acercaba. - Perdone, pero es que yo vivía aquí antes y no consigo recordar... - No te preocupes, papá, mamá me ha mandado a recogerte.

Taniyama era el epítome del genio de la mente ausente y esto se reflejaba en su apariencia. Era incapaz de hacer un nudo decente y por eso decidió que en lugar de anudarse los cordones de sus zapatos una docena de veces al día no se los iba a anudar nunca. Siempre vestía el mismo traje verde tan peculiar con un extraño brillo metálico. El resto de su familia lo había rechazado porque estaba hecho de una tela muy llamativa.

Un astrónomo un físico y un matemático estaban de vacaciones en Escocia. Mirando por la ventana del tren distinguieron una oveja negra en medio de un prado. "¡Qué interesante, en Escocia las ovejas son negras!" - dijo el astrónomo. A lo que respondió el físico: "No, no, algunas ovejas escocesas son negras". El matemático miró suplicante al cielo y entonces articuló: "En Escocia existe al menos un campo que tiene al menos una oveja con al menos uno de sus costados de color negro".